Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=

1

2

x²+mx+

7

2

（m＜0），
（I）若直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且与函数f（x）的图象的切点的横坐标为1，求直线l的方程及m的值；
（Ⅱ）若h（x）=f（x+1）-g′（x）其中g′（x）是g（x）的导函数，求函数h（x）的最大值；
（Ⅲ）当0＜a＜b，求证：f（a+b）-f（2b）＜

a-b

2b

．

Answer 1

分析：（I）利用导数的几何意义求相应的切线方程及m的值；
（Ⅱ）利用函数的最值和导数之间的关系求函数h（x）的最大值；
（Ⅲ）利用作差法证明不等式．

解答：解：（Ⅰ）依题意知，直线l是函数f（x）=lnx在（1，0）处的切线方程，故其斜率k=f'（1）=1，
所以直线l的方程为y=x-1．
又因为直线l与g（x）的图象相切，所以由

y=x-1 y= 1 2 x2+mx+ 7 2

，得

1

2

x2+(m-1)x+

9

2

=0，
得△=（m-1）²-9=0，解得m=-2或m=4（舍去）．
（Ⅱ）因为h（x）=f（x+1）-g′（x）=ln（x+1）-x-m，（x＞-1），
所以h′(x)=

1

x+1

-1=-

x

x+1

，当-1＜x＜0时，h'（x）＞0，此时函数单调递增，
当x＞0时，h'（x）＜0，此时函数单调递减，
因此，当x=0时，函数h（x）取得最大值h（0）=-m．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，取m=-1，
当-1＜x＜0时，h（x）＜2，即ln（1+x）＜x，
当0＜a＜b时，-1＜

a-b

2b

＜0．
因此有f（a+b）-f（2b）=ln

a+b

2b

=ln(1+

a-b

2b

)＜

a-b

2b

．
所以不等式成立．

点评：本题主要考查函数的性质和导数之间的关系，综合性较强，运算量较大．