Question

已知x∈（0，π），则函数f(x)=

1+cosx+8sin2 x 2

sinx

的最小值为

 

．

Answer 1

分析：先化简函数，再利用基本不等式求最值．

解答：解：f(x)=

1+cosx+8sin2 x 2

sinx

=

2cos2 x 2 +8sin2 x 2

2sin x 2 cos x 2

=

1+4tan2 x 2

tan x 2

=4tan

x

2

+

1

tan x 2

．
∵x∈（0，π），∴

x

2

∈(0，

π

2

)，∴tan

x

2

＞0，
∴4tan

x

2

+

1

tan x 2

≥4，当且仅当4tan

x

2

=

1

tan x 2

，
即tan

x

2

=

1

2

时，函数f(x)=

1+cosx+8sin2 x 2

sinx

的最小值为4．
故答案为：4

点评：本题考查三角函数的化简，考查基本不等式的运用，正确化简函数是关键．