Question

7．受市场的影响，三峡某旅游公司的经济效益出现了一定程度的滑坡，现需要对某一景点进行改造升级，提高旅游增加值．经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x万元之间满足y=$\frac{51}{50}$x-ax²-lnx+ln10，且$\frac{x}{2x-12}$∈[1，+∞）．当x=10时，y=9.2．
（1）求y=f（x）的解析式和投入x的取值范围：
（2）求旅游增加值y取得最大值时对应的x的值．

Answer 1

分析 （1）由已知条件推导出f（x）=$\frac{51}{50}$x-0.01x²-lnx+ln10，6＜x≤12，由此能求出结果．
（2）f′（x）=-$\frac{（x-1）（x-50）}{50x}$，当x∈（6，12]时，f′（x）＞0恒成立，由此能求出投入12万元进行改造升级，取得最大的增加值．

解答 解：（1）因为y=$\frac{51}{50}$x-ax²-lnx+ln10，
当x=10时，y=9.2，解得a=0.01．
所以f（x）=$\frac{51}{50}$x-0.01x²-lnx+ln10．
因为$\frac{x}{2x-12}$∈[1，+∞），所以6＜x≤12，
即投入x的取值范围是（6，12]．…（6分）
（2）对f（x）求导，得f′（x）=-$\frac{（x-1）（x-50）}{50x}$．
当x∈（6，12]时，f′（x）＞0恒成立，
因此f（x）在区间（6，12]上是增函数．
从而当x=12时，f（x）取得最大值，
即投入12万元进行改造升级，取得最大的增加值．…（12分）

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，正确求出函数的解析式是基础，利用导数求解是解题的关键．