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以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线的参数方程为 (t为参数,0<a<),曲线C的极坐标方程为

(1)求曲线C的直角坐标方程;

(2)设直线l与曲线C相交于A、B两点,当a变化时,求|AB|的最小值.

 

【答案】

(I) ;(II) 4.

【解析】

试题分析:(I)利用,易得曲线C的直角坐标方程;(II)直线过点,根据直线的参数方程中的几何意义,知道,将直线的参数方程与抛物线方程联立,利用韦达定理转化为关于a的函数式,求最值即可.

试题解析:(I)由,得,所以曲线C的直角坐标方程为;

(II)将直线l的参数方程代入,得,设两点对应的参数分别为,则 ,当时,的最小值为.

考点:1、极坐标方程与直角坐标方程的转化 2、直线的参数方程及应用 3、直线与圆锥曲线相交问题的综合应用 4、函数最值.

 

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴.已知点P的直角坐标为(1,-5),点M的极坐标为(4,
π
2
).若直线l过点P,且倾斜角为
π
3
,圆C以M为圆心、4为半径.
(Ⅰ)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程;
(Ⅱ)试判定直线l和圆C的位置关系.

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科目:高中数学 来源: 题型:

以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的单位长度.已知直线l经过点P(1,1),倾斜角α=
π
6

(I)写出直线l的参数方程是
x=
3
t+1
y=t+1
(t为参数),
x=
3
t+1
y=t+1
(t为参数),

(II)设l与圆ρ=2相交与两点A、B,求点P到A、B两点的距离之积是
2
2

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•许昌县一模)以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点P的极坐标为(
2
π
4
),直线l过点P,且倾斜角为
3
,方程
x2
36
+
y2
16
=1所对应的曲线经过伸缩变换
x′=
1
3
x
y′=
1
2
y
后的图形为曲线C.
(Ⅰ)求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标系方程.
(Ⅱ)直线l与曲线C相交于两点A,B,求|PA|•|PB|的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

三题中任选两题作答
(1)(2011年江苏高考)已知矩阵A=
11
21
,向量β=
1
2
,求向量α,使得A2α=β
(2)(2011年山西六校模考)以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,已知点P的直角坐标为(1,-5),点M的极坐标为(4,
π
2
)
,若直线l过点P,且倾斜角为
π
3
,圆C以M为圆心、4为半径.
①求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程;  ②试判定直线l和圆C的位置关系.
(3)若正数a,b,c满足a+b+c=1,求
1
3a+2
+
1
3b+2
+
1
3c+2
的最小值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴.已知点P的直角坐标为(-1,5),点M的极坐标为(4,
π
2
).若直线l过点P,且倾斜角为
π
3
,圆C以M为圆心,半径为4.
(Ⅰ)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程;
(Ⅱ)试判定直线l和圆C的位置关系.

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