Question

已知函数f（x）=log_a（1+x），g（x）=log_a（1-x），（a＞0，且a≠1）．
（1）设a=2，函数f（x）的定义域为[3，63]，求函数f（x）的最值．
（2）求使f（x）-g（x）＞0的x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=2时，根据函数f（x）=log₂（x+1）为[3，63]上的增函数，求得函数的最值．
（2）f（x）-g（x）＞0，即log_a（1+x）＞log_a（1-x），分①当a＞1和②当0＜a＜1两种情况，分别利用函数的单调性解对数不等式求得x的范围．

解答：解：（1）当a=2时，函数f（x）=log₂（x+1）为[3，63]上的增函数，
故f（x）_max=f（63）=log₂（63+1）=6，f（x）_min=f（3）=log₂（3+1）=2．
（2）f（x）-g（x）＞0，即log_a（1+x）＞log_a（1-x），
①当a＞1时，由1+x＞1-x＞0，得0＜x＜1，故此时x的范围是（0，1）．
②当0＜a＜1时，由0＜1+x＜1-x，得-1＜x＜0，故此时x的范围是（-1，0）．

点评：本题主要考查指数函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．