Question

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，满足c=λacosB（λ∈R），
（1）若λ=2，A=30°，求B的值；
（2）若a=2，B=60°，且角C为钝角，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将λ=2代入已知等式，利用余弦定理表示出cosB，整理后得到a=b，利用等边对等角即可求出B的度数；
（2）法1：由C为钝角及B的度数，得到A的范围，利用正弦定理列出关系式，表示出b，由c=2λcos60°=λ，利用余弦定理列出关系式，根据λ大于0，即可求出λ的范围；
法2：根据题意得到c=2λcos60°=λ，利用正弦定理表示出c，根据C为钝角，得出A的范围，将C=120°-A代入即可求出λ的范围．

解答：解：（1）λ=2时，c=2acosB=2a•

a2+c2-b2

2ac

，
整理得：a²=b²，即a=b，
则B=A=30°；
（2）法1：∵C＞90°，∴A=180°-B-C=120°-C＜30°，
由正弦定理得：bsinA=asinB，即b=

3

sinA

＞2

3

，
又c=2λcos60°=λ，
∴根据余弦定理得：b²=4+λ²-2λ＞12，
又λ＞0，∴λ＞4；
法2：c=2λcos60°=λ，由正弦定理得：csinA=asinC，即c=

2sinC

sinA

，
∵C＞90°，∴A=180°-B-C＜30°，
将C=120°-A代人，得：c=λ=

2sin(120°-A)

sinA

=

3 cosA+sinA

sinA

=

3

tanA

+1＞4．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，正弦、正切函数的图象与性质，熟练掌握定理是解本题的关键．