【题目】过椭圆 =1的右焦点F作斜率k=﹣1的直线交椭圆于A,B两点,且
共线.
(1)求椭圆的离心率;
(2)当三角形AOB的面积S△AOB= 时,求椭圆的方程.
【答案】
(1)解:设AB:y=﹣x+c,直线AB交椭圆于两点,A(x1,y1),B(x2,y2),
,b2x2+a2(﹣x+c)2=a2b2,
(b2+a2)x2﹣2a2cx+a2c2﹣a2b2=0,
,
,
=(x1+x2,y1+y2),与
=
共线,
可得3(y1+y2)﹣(x1+x2)=0,3(﹣x1+c﹣x2+c)﹣(x1+x2)=0
(2)解:由a2=3b2,可设椭圆的方程为: ,c2=3b2﹣b2=2b2,
,
AB:y=﹣x+ b,
,可得:
,
即 ,
∴ ,
,
AB的距离为:|AB|= =
=
,
O到AB距离 .
,
椭圆方程为 .
【解析】(1)设直线AB的方程,A,B的坐标,联立直线的方程和椭圆的方程,利用韦达定理,通过+
与
共线,可求出椭圆的离心率;(2)设椭圆的方程和直线的方程,联立方程组,通过韦达定理求出|AB|,O到直线AB的距离 ,利用三角形的面积,可求出椭圆的方程.
【考点精析】认真审题,首先需要了解椭圆的标准方程(椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:
).
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【题目】已知关于x的一元二次函数,分别从集合
和
中随机取一个数
和
得到数对
.
(1)若,
,求函数
在
内是偶函数的概率;
(2)若,
,求函数
有零点的概率;
(3)若,
,求函数
在区间
上是增函数的概率.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C1的参数方程为 (θ为参数),曲线 C2的极坐标方程为ρcosθ﹣
ρsinθ﹣4=0.
(1)求曲线C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程;
(2)设P为曲线C1上一点,Q为曲线 C2上一点,求|PQ|的最小值.
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【题目】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点.
(1)求证:平面AED⊥平面A1FD1;
(2)在AE上求一点M,使得A1M⊥平面ADE.
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【题目】设z1 , z2是复数,给出下列四个命题:
①若|z1﹣z2|=0,则 =
②若z1=
,则
=z2
③若|z1|=|z2|,则z1 =z2
④若|z1|=|z2|,则z12=z22
其中真命题的序号是 .
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【题目】在平面直角坐标系中,已知圆
的半径为2,圆心在
轴的正半轴上,且与直线
相切.
(1)求圆的方程。
(2)在圆上,是否存在点
,使得直线
与圆
相交于不同的两点
,且△
的面积最大?若存在,求出点
的坐标及对应的△
的面积;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知点P是长轴长为 的椭圆Q:
上异于顶点的一个动点,O为坐标原点,A为椭圆的右顶点,点M为线段PA的中点,且直线PA与OM的斜率之积恒为
.
(1)求椭圆Q的方程;
(2)设过左焦点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于C,D两点,线段CD的垂直平分线与x轴交于点G,点G横坐标的取值范围是 ,求|CD|的最小值.
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