Question

已知定直线l：x＝－1，定点F(1,0)，⊙P经过F且与l相切.

(1)求P点的轨迹C的方程.

(2)是否存在定点M，使经过该点的直线与曲线C交于A、B两点，并且以AB为直径的圆都经过原点；若有，请求出M点的坐标；若没有，请说明理由.

Answer 1

 (1)由题设知点P到点F的距离与点P到直线l的距离相等，

∴点P的轨迹C是以F为焦点，l为准线的抛物线，

∴点P的轨迹C的方程为：y²＝4x.

(2)设AB的方程为x＝my＋n，代入抛物线方程整理得：y²－4my－4n＝0，

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则

∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB，

∴y₁y₂＋x₁x₂＝0.即y₁y₂＋·＝0.

∴y₁y₂＝－16，∴－4n＝－16，n＝4.

∴直线AB：x＝my＋4恒过M(4,0)点．