Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，而且f（1）=1，若m、n∈[-1，1]，m+n≠0时有 

f(m)+f(n)

m+n

＜0．
（1）证明f（x）在[-1，1]上为减函数；
（2）解不等式：f(x+

1

2

)＞f(

3

2

-x2)；
（3）若f（x）≤t²-2at+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）任取-1≤x₁＜x₂≤1，则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

•(x1-x2)＞0，由此能够证明f（x）在[-1，1]上为减函数；
（2）由f（x）是奇函数和（1）的结论知f（x）在上[-1，1]是减函数，所以

x+ 1 2 ≥-1 3 2 -x2＞x+ 1 2 3 2 -x2 ≤1

，由此能求出不等式的解集．
（3）由f（x）在[-1，1]上是减函数，知要使f（x）≤t²-2at+1，对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，所以

t2+2t≥0 t2-2t≥ 0

，由此能求出实数t的取值范围．

解答：证明：（1）任取-1≤x₁＜x₂≤1，则
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

•(x1-x2)
∵-1≤x₁＜x₂≤1，∴x₁+（-x₂）≠0，
由已知

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

＜0，又x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x）在[-1，1]上为减函数；
解：（2）∵f（x）在[-1，1]上为减函数，
故有

x+ 1 2 ≥-1 3 2 -x2＞x+ 1 2 3 2 -x2 ≤1

，
解得

2

2

≤x＜

5 -1

2

，或-

3

2

＜x≤-

2

2

，
∴解集为： [

2

2

，

5 -1

2

)∪[-

3

2

，-

2

2

)
（3）由（1）可知：f（x）在[-1，1]上是减函数，
且f（1）=1，故对x∈[-l，1]，恒有f（x）≥1．
所以要使f（x）≤t²-2at+1，对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
即要t²-2at+1≥1成立，故t²-2at≥0成立．
∴

t2+2t≥0 t2-2t≥ 0

，
解得：t≤-2或t≥2或t=0．

点评：本题考函数的恒成立的应用，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．