Question

已知二次函数f（x）满足f（-1）=0，且8x≤f（x）≤4（x²+1）对于x∈R恒成立．
（1）求f（1）；
（2）求f（x）的表达式；
（3）设g(x)=

x2-1

f(x)

，定义域为D，现给出一个数学运算程序：x₁→x₂=g（x₁）→x₃=g（x₂）→…x_n=g（x_n-1）
若x_n∈D，则运算继续下去；若x_n∉D，则运算停止．给出x1=

7

3

，请你写出满足上述条件的
集合D={x₁，x₂，x₃，…，x_n}．

Answer 1

分析：（1）把1代入8x≤f（x）≤4（x²+1）可得f（1）；
（2）设出f（x）的表达式，由f（-1）=0和f（1），以及ax²+bx+c≥8x，即ax²-4x+c≥0，对x∈R恒成立，求得a、b、c可得f（x）的表达式．
（3）写出g（x），按运算程序，逐一写出结果，发现x₅无意义，以后无意义．可得结论．

解答：解：（1）由8x≤f（x）≤4（x²+1），令x=1得8≤f（1）≤8，
∴f（1）=8．
（2）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由（1）及f（-1）=0得

a+b+c=8 a-b+c=0

?b=4，a+c=4．
又ax²+bx+c≥8x，即ax²-4x+c≥0，对x∈R恒成立，
∴

a＞0 △=16-4ac≤0

，即（a-2）²≤0，
∴a=2，c=2．故f（x）=2（x+1）²．
（3）由g（x）=

x2-1

f(x)

=

x-1

2(x+1)

=

1

2

-

1

x+1

.
由题意x₁=

7

3

，x₂=g（x₁）=

1

5

，x₃=g（x₂）=-

1

3

，x₄=g（x₃）=-1，x₅无意义，故D={

7

3

，

1

5

，-

1

3

，-1}

点评：本题考查一元二次方程根的分布与系数的关系，考查恒成立问题，探究性问题，是难题．