Question

已知f（x）=

1

2

（a^x+a^-x）（a＞0且a≠1）的图象过点（2，

41

9

）．判断f（x）在（0，+∞）上的单调性．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,指数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：利用函数图象经过的点，求出a，然后判断函数的单调性．

解答： 解：f（x）=

1

2

（a^x+a^-x）（a＞0且a≠1）的图象过点（2，

41

9

）．
∴

41

9

=

1

2

（a²+a^-2），
∴a²=9或

1

9

．
∵a＞0且a≠1．
∴a=3或a=

1

3

．
∴f（x）=

1

2

（3^x+（

1

3

）^-x）=3^x．
函数是指数函数，f（x）在（0，+∞）上是增函数．

点评：本题考查函数的解析式的求法，指数函数单调性的判断，基本知识的考查．