Question

设函数f（x）=2ax²+（a+4）x+lnx．
（Ⅰ）若f（x）在x=

1

4

处的切线与直线4x+y=0平行，求a的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x₀，证明f′（x₀）＜0．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）利用求导公式求出导数并化简，由导数的几何意义和题意可得f′（-

1

4

）=-4，解出a的值即可；
（Ⅱ）对导数因式分解后，再求出函数f（x）的定义域，然后在定义域内分a≥0，a＜0两种情况，解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可得函数的单调区间；
（Ⅲ）设出函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点的横坐标，利用分析法和根据（II）结论进行证明，根据要证明的结论和分析的过程，利用放缩法、换元法、构造函数法解答，再利用导数求出函数的最值，即可证明结论．

解答： 解：（I）由题知f（x）=2ax²+（a+4）x+lnx，
则f′(x)=

4ax2+(a+4)x+1

x

．
又∵f（x）的图象在x=

1

4

处的切线与直线4x+y=0平行，
∴f′(

1

4

)=-4，即4a×

1

16

+

1

4

×（a+4）+1=-1，
解得  a=-6．…（4分）
（Ⅱ）由（I）得，f′(x)=

4ax2+(a+4)x+1

x

=

(4x+1)(ax+1)

x

，
由题知f（x）=2ax²+（a+4）x+lnx的定义域为（0，+∞），
由x＞0，得

4x+1

x

＞0．
①当a≥0时，对任意x＞0，f′（x）＞0，
∴此时函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．
②当a＜0时，令f′（x）=0，解得x=-

1

a

，
当0＜x＜-

1

a

时，f′（x）＞0，当x＞-

1

a

时，f′（x）＜0，
此时，函数f（x）的单调递增区间为（0，-

1

a

），单调递减区间为（-

1

a

，+∞）．
（Ⅲ）不妨设A（x₁，0），B（x₂，0），且0＜x₁＜x₂，由（Ⅱ）知 a＜0，
于是要证f'（x）＜0成立，只需证：x0＞-

1

a

即

x1+x2

2

＞-

1

a

．
∵f(x1)=2ax12+(a+4)x1+lnx1=0，①
f(x2)=2ax22+(a+4)x2+lnx2=0，②
①-②得f(x1)-f(x2)=2ax12+(a+4)x1+lnx1-2ax22-(a+4)x2-lnx2=0，
即a(2x12-2x22+x1-x2)+4(x1-x2)+lnx1-lnx2=0，
∴-

1

a

=

2x12+x1-2x22-x2

4x1+lnx1-4x2-lnx2

，
故只需证

x1+x2

2

＞

2x12+x1-2x22-x2

4x1+lnx1-4x2-lnx2

，
即证明(x1+x2)[4(x1-x2)+(lnx1-lnx2)]＜4x12+2x1-4x22-2x2，
即证明lnx1-lnx2＜

2x1-2x2

x1+x2

，变形为ln

x1

x2

＜

2• x1 x2 -2

x1 x2 +1

，
设t=

x1

x2

（0＜t＜1），令g(t)=lnt-

2t-2

t+1

，
则g′(t)=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

，
显然当t＞0时，g′（t）≥0，当且仅当t=1时，g′（t）=0，
∴g（t）在（0，+∞）上是增函数．
又∵g（1）=0，
∴当t∈（0，1）时，g（t）＜0总成立，命题得证．…（14分）

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值，导数的几何意义及不等式的证明问题，体现了分类讨论和转化的思想方法．考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，综合性较强，计算量大，难度较大，对能力要求较高．