Question

若不等式

x2+1+m

x2+m

≥

1+m

m

（x∈R）对任意实数x都成立，则正实数m取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,综合题,不等式的解法及应用

分析：

x2+1+m

x2+m

≥

1+m

m

即

x2+m

+

1

x2+m

≥

1+m

m

，令t=

x2+m

，t≥

m

，则不等式可化为t+

1

t

≥

1+m

m

，从而不等式等价于(t+

1

t

)min≥

1+m

m

，利用导数可求得(t+

1

t

)min，注意讨论m的范围．

解答： 解：

x2+1+m

x2+m

≥

1+m

m

即

x2+m

+

1

x2+m

≥

1+m

m

，
令t=

x2+m

，t≥

m

，则不等式可化为t+

1

t

≥

1+m

m

，
令y=t+

1

t

，则y′=1-

1

t2

=

(t+1)(t-1)

t2

，
①当0＜m＜1时，若

m

≤t＜1，y′＜0，若t＞1，y′＞0，
∴t=1时，y_min=2，
∴2≥

1+m

m

，(

m

-1)2≤0，无解；
②当m≥1时，y′=

(t+1)(t-1)

t2

≥0，
y=t+

1

t

在[

m

，+∞]上为增函数，
∴ymin=

1

m

+

m

≥

1+m

m

，该不等式恒成立，
∴m≥1，
综上，m≥1．
故答案为：m≥1．

点评：本题考查函数恒成立问题、利用导数求函数的最值，考查转化思想、分类讨论思想，转化为函数最值是解决恒成立问题的常用方法，注意体会．