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已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1.(a>b>0)
,其中短轴长和焦距相等,且过点M(2,
2
)

(1)求椭圆的标准方程;
(2)若P(x0,y0)在椭圆C的外部,过P做椭圆的两条切线PM、PN,其中M、N为切点,则MN的方程为
x0x
a2
+
y0y
b2
=1
.已知点P在直线x+y-4=0上,试求椭圆右焦点F到直线MN的距离的最小值.
(1)设椭圆方程为
x 2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)

x2
2b2
+
y2
b2
=1
,过点M(2,
2
),
4
2b2
+
2
b2
=1

b=2,a=2
2

∴椭圆方程为
x2
8
+
y2
4
=1

(2)设P(x0,y0),则x0+y0-4=0,即x0=4-y0
∵x+y-4=0与椭圆无交点,∴P在椭圆C的外部,
∴MN所在直线方程为
x0x
8
+
y0y
4
=1

即x0x+2y0y-8=0,
设所求距离为d,且F(2,0),
d=
|2x0-8|
x02+4y02
=
|2y0|
5y02-8y0+16

=
2
16
y0 2
-
8
y 0 
+5
=
2
(
4
y0
-1)
2
+4

∴当y0=4时,dmin=1.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为
1
2
,且经过点P(1,
3
2
)

(1)求椭圆C的方程;
(2)设F是椭圆C的左焦,判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系,并说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的短轴长为2
3
,右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合,O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设A、B是椭圆C上的不同两点,点D(-4,0),且满足
DA
DB
,若λ∈[
3
8
1
2
],求直线AB的斜率的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)经过点A(1,
3
2
),且离心率e=
3
2

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点B(-1,0)能否作出直线l,使l与椭圆C交于M、N两点,且以MN为直径的圆经过坐标原点O.若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•房山区二模)已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的长轴长是4,离心率为
1
2

(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)设过点P(0,-2)的直线l交椭圆于M,N两点,且M,N不与椭圆的顶点重合,若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A,求直线l的方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的短轴长为2,离心率为
2
2
,设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,过A,B作直线x=2的垂线AP,BQ,垂足分别为P,Q.记λ=
AP+BQ
PQ
,若直线l的斜率k≥
3
,则λ的取值范围为
 

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