Question

【题目】已知在平面直角坐标系中，，（），其中数列、都是递增数列.

（1）若，，判断直线与是否平行；

（2）若数列、都是正项等差数列，它们的公差分别为、，设四边形的面积为（），求证：也是等差数列；

（3）若，（），，记直线的斜率为，数列前8项依次递减，求满足条件的数列的个数.

Answer 1

【答案】（1）不平行；（2）证明见解析；（3）9个.

【解析】

（1）确定A1（3，0），B1（0，4），A2（5，0），B2（0，7），求得斜率，可得A1B1与A2B2不平行；

（2）因为{an}，{bn}为等差数列，设它们的公差分别为d1和d2，则an＝a1+（n﹣1）d1，bn＝b1+（n﹣1）d2，an+1＝a1+nd1，bn+1＝b1+nd2，从而可得，进而可证明数列{Sn}是等差数列；

（3）求得，根据数列{kn}前8项依次递减，可得an﹣a+b＜0对1≤n≤7（n∈Z）成立，根据数列{bn}是递增数列，故只要n＝7时，7a﹣a+b＝6a+b＜0即可，关键b1＝a+b≥﹣12，联立不等式作出可行域，即可得到结论．

（1）由题意A1（3，0），B1（0，4），A2（5，0），B2（0，7），

所以，

，

因为，所以A1B1与A2B2不平行．

（2）因为{an}，{bn}为等差数列，设它们的公差分别为d1和d2，

则an＝a1+（n﹣1）d1，bn＝b1+（n﹣1）d2，an+1＝a1+nd1，bn+1＝b1+nd2

由题意

所以[b1+（n﹣1）d2]}

，

所以，

所以Sn+1﹣Sn＝d1d2是与n无关的常数，

所以数列{Sn}是等差数列

（3）因为An（an，0），Bn（0，bn），

所以

又数列{kn}前8项依次递减，

所以0，

对1≤n≤7（n∈Z）成立，

即an﹣a+b＜0对1≤n≤7（n∈Z）成立．

又数列{bn}是递增数列，所以a＞0，故只要n＝7时，7a﹣a+b＝6a+b＜0即可．

又b1＝a+b≥﹣12，联立不等式作出可行域（如右图所示），易得a＝1或2，

当a＝1时，﹣13≤b＜﹣6即b＝﹣13，﹣12，﹣11，﹣10，﹣9，﹣8，﹣7，有7个解；

当a＝2时，﹣14≤b＜﹣12，即b＝﹣14，﹣13，有2个解，所以数列{bn}共有9个．