Question

已知锐角△ABC中，三个内角为A，B，C，两向量

p

=（2-2sinA，cosA+sinA），

q

=（sinA-cosA，1+sinA），若

p

与

q

是共线向量．
（1）求∠A的大小；  
（2）求函数y=2sin2B+cos(

C-3B

2

)取最大值时，∠B的大小．

Answer 1

分析：（1）根据两向量的坐标及两向量为共线向量，利用平面向量数量积运算法则列出关系式，整理后求出cosA的值，即可确定出A的度数；
（2）由A的度数得到B+C的度数，表示出C，代入函数y中，利用二倍角的余弦函数公式，以及两角和与差的余弦函数公式化简，整理后利用正弦函数的值域求出y取得最大值时B的度数即可．

解答：解：（1）∵向量

p

=（2-2sinA，cosA+sinA），

q

=（sinA-cosA，1+sinA），若

p

与

q

是共线向量，
∴

2-2sinA

sinA-cosA

=

cosA+sinA

1+sinA

，即2（1-sinA）（1+sinA）=（sinA-cosA）（sinA+cosA），
整理得：2（1-sin²A）=sin²A-cos²A，即cos²A=

1

4

，
∵A为锐角，
∴cosA=

1

2

，即A=60°；
（2）函数y=2×

1-cos2B

2

+cos（

120°-4B

2

）=1-cos2B+

1

2

cos2B+

3

2

sin2B=

3

2

sin2B-

1

2

cos2B+1=sin（2B+30°）+1，
当2B+30°=90°，即B=30°时，函数y取得最大值为2．

点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，平面向量与共线向量，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．