Question

7．设命题p：函数f（x）=x²-ax-1在区间（-∞，1]上单调递减；命题q：不等式ax²-ax+1＞0对于x∈R恒成立，如果命题“p或q”是真命题，“p或q”是假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 先求出关于p，q的a的范围，通过讨论p，q的真假得到不等式组，解出即可．

解答 解：关于命题p：函数f（x）=x²-ax-1，
函数f（x）的对称轴x=$\frac{a}{2}$，开口向上，
若f（x）在区间（-∞，1]上单调递减，
则$\frac{a}{2}$≥1，解得：a≥2；
关于命题q：不等式ax²-ax+1＞0对于x∈R恒成立，
a=0时：1＞0成立，
a≠0时：等价于$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△{=a}^{2}-4a＜0}\end{array}\right.$，解得：0＜a＜4，
∴0≤a＜4
如果命题“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，
则p，q一真一假，
p假q真时：$\left\{\begin{array}{l}{a＜2}\\{0≤a＜4}\end{array}\right.$，解得：0≤a＜2，
p真q假时：$\left\{\begin{array}{l}{a≥2}\\{a≥4或a＜0}\end{array}\right.$，解得：a≥4，
故a的范围是[0，+∞）．

点评 本题考查了复合命题的判断，考查二次函数的性质，是一道中档题．