Question

7．已知函数f（x）=x³-ax-1．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）在R上为增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导f′（x）=3x²-a，从而讨论a以确定导数的正负，从而确定函数的单调性；
（2）由（1）知a≤0．

解答 解：（1）∵f（x）=x³-ax-1，
∴f′（x）=3x²-a，
当a≤0时，f′（x）=3x²-a≥0恒成立，
故函数f（x）=x³-ax-1在R上是增函数，
当a＞0时，f′（x）=3x²-a=3（x+$\frac{\sqrt{3a}}{3}$）（x-$\frac{\sqrt{3a}}{3}$），
故当x＜-$\frac{\sqrt{3a}}{3}$或x＞$\frac{\sqrt{3a}}{3}$时，f′（x）＞0，
当-$\frac{\sqrt{3a}}{3}$＜x＜$\frac{\sqrt{3a}}{3}$时，f′（x）＜0，
故f（x）在（-∞，-$\frac{\sqrt{3a}}{3}$），（$\frac{\sqrt{3a}}{3}$，+∞）上是增函数，
在（-$\frac{\sqrt{3a}}{3}$，$\frac{\sqrt{3a}}{3}$）上是减函数；
（2）由（1）知，a≤0．

点评 本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用．