Question

17．在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=λa_n+λⁿ⁺¹+（2-λ）2ⁿ（n∈N^*），其中λ＞0．
（1）写出a₁，a₂，a₃；
（2）由（1）数列{a_n}猜想出数列{a_n}的通项公式并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析 （1）由于a₁=2，a_n+1=λa_n+λⁿ⁺¹+（2-λ）2ⁿ（n∈N^*），其中λ＞0．可得a₁=2，a₂=λ²+2²，a₃=2λ³+2³，a₄=3λ⁴+2⁴．
（2）由此可猜想出数列{a_n}的通项公式为a_n=（n-1）λⁿ+2ⁿ．利用数学归纳法证明即可得出．

解答 解：（1）∵a₁=2，a_n+1=λa_n+λⁿ⁺¹+（2-λ）2ⁿ（n∈N^*），其中λ＞0．
∴a₁=2，a₂=$λ{a}_{1}+{λ}^{2}+（2-λ）×2$=λ²+2²，a₃=$λ{a}_{2}+{λ}^{3}$+（2-λ）×2²=2λ³+2³，同理可得a₄=3λ⁴+2⁴．
（2）由此可猜想出数列{a_n}的通项公式为a_n=（n-1）λⁿ+2ⁿ．
以下用数学归纳法证明：①当n=1时，a₁=2，等式成立．
②假设当n=k时等式成立，即${a}_{k}=（k-1）•{λ}^{k}$+2^k．则当n=k+1时，a_k+1=$λ{a}_{k}+{λ}^{k+1}$+（2-λ）•2^k=
λ[（k-1）λ^k+2^k]+λ^k+1+（2-λ）•2^k=[（k+1）-1]λ^k+1+2^k+1．
这就是说，当n=k+1时等式也成立．
由①②可知数列{a_n}的通项公式是：a_n=（n-1）λⁿ+2ⁿ．（n∈N^*）．

点评 本题考查了递推关系的应用、数学归纳法的应用，考查了猜想归纳推理能力与计算能力，属于中档题．