Question

12．讨论函数f（x）=aln（x+1）+$\frac{x-1}{x+1}$，x∈（-1，+∞）的单调性．

Answer 1

分析 先求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断导函数的符号，从而求出函数的单调区间．

解答 解：f（x）=aln（x+1）+$\frac{x-1}{x+1}$=aln（x+1）+1-$\frac{2}{x+1}$，x∈（-1，+∞），
∴f′（x）=$\frac{a}{x+1}$+$\frac{2}{{（x+1）}^{2}}$=$\frac{ax+a+2}{{（x+1）}^{2}}$，
①a≥0时：f′（x）＞0，f（x）在（-1，+∞）单调递增；
②-2＜a＜0时：令f′（x）＞0，解得：0＜x＜-$\frac{a+2}{a}$，令f′（x）＜0，解得：x＞-$\frac{a+2}{a}$，
∴f（x）在（0，-$\frac{a+2}{a}$）递增，在（-$\frac{a+2}{a}$，+∞）递减；
③a≤-2时：x=-$\frac{a+2}{a}$＜-1，
∴f′（x）＜0，f（x）在（-1，+∞）单调递减；

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，以及分类讨论思想，是一道中档题．