Question

2．已知x，y∈（0，2），则$\sqrt{{x^2}+{y^2}}+\sqrt{{x^2}+{{（y-2）}^2}}+\sqrt{{{（x-2）}^2}+{y^2}}+\sqrt{{{（x-2）}^2}+{{（y-2）}^2}}$的最小值为4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 直接利用四个和式的几何意义求得答案．

解答 解：$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$表示点（x，y）与原点（0，0）之间的距离，
$\sqrt{{x}^{2}+（y-2）^{2}}$表示点（x，y）与点（0，2）之间的距离，
$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$表示点（x，y）与点（2，0）之间的距离，
$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-2）^{2}}$表示点（x，y）与点（2，2）之间的距离，
∴函数就是四个距离之和，
满足条件0＜x＜2，0＜y＜2的点（x，y）位于矩形内，
则距离之和的最小值就是此矩形的对角线长的2倍，等于4$\sqrt{2}$．
故答案为：4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了函数值的求法，考查了数学转化思想方法，关键是转化为几何意义，是中档题．