Question

20．π为圆周率，e=2.71828为自然对数的底数．则3^π，π^e，3^e，π³，e³，e^π这6个数中的最大值是3^π．

Answer 1

分析 构造函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$，由导数性质得函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）．由e＜3＜π，得ln3^e＜lnπ^e，lne^π＜ln3^π．从而3^e＜π^e＜π³，e³＜e^π＜3^π，由函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$的单调性质，得f（π）＜f（3）＜f（e），由此能求出3^π，π^e，3^e，π³，e³，e^π这6个数中的最大值．

解答 解：函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$的定义域为（0，+∞），
∵f（x）=$\frac{lnx}{x}$，∴f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
当f′（x）＞0，即0＜x＜e时，函数f（x）单调递增；
当f′（x）＜0，即x＞e时，函数f（x）单调递减．
故函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）．
∵e＜3＜π，
∴eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3^e＜lnπ^e，lne^π＜ln3^π．
于是根据函数y=lnx，y=e^x，y=π^x在定义域上单调递增，可得3^e＜π^e＜π³，e³＜e^π＜3^π，
故这六个数的最大数在π³与3^π之中，
由e＜3＜π及函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$的单调性质，得f（π）＜f（3）＜f（e），
即$\frac{lnπ}{π}$＜$\frac{ln3}{3}$＜$\frac{lne}{e}$，
由$\frac{lnπ}{π}$＜$\frac{ln3}{3}$，得lnπ³＜ln3^π，∴3^π＞π³，
3^π，π^e，3^e，π³，e³，e^π这6个数中的最大值是3^π．
故答案为：3^π．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性及其应用、数值的大小比较，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，难度较大．