Question

10．现有一段长为18m的铁丝，要把它围成一个底面一边长为另一边长2倍的长方体形状的框架，当长方体体积最大时，底面的较短边长是（　　）

• A． 1 m
• B． 1.5 m
• C． 0.75 m
• D． 0.5 m

Answer 1

分析 根据题意知，长方体的所有棱长和是18m，故可设出宽，用宽表示出长和高，将体积表示成宽的函数，用基本不等式或导数来求其取最大值时的宽，即为所求．

解答 解：设该长方体的宽是x米，由题意知，其长是2x米，
高是$\frac{18-8x-4x}{4}$=$\frac{9}{2}$-3x米，（0＜x＜$\frac{3}{2}$），
则该长方体的体积V（x）=x•2x•（$\frac{9}{2}$-3x）
=$\frac{1}{9}$•3x•3x•（9-6x）≤$\frac{1}{9}$•（$\frac{3x+3x+9-6x}{3}$）³=3，
当且仅当3x=9-6x，即x=1时，取得最大值3；
或由V′（x）=18x（x-1）=0，得到x=1，
且当0＜x＜1时，V′（x）＞0；
当1＜x＜$\frac{3}{2}$时，V′（x）＜0，
即体积函数V（x）在x=1处取得极大值V（1）=3，
也是函数V（x）在定义域上的最大值．
所以该长方体体积最大值时，
x=1即长方体体积最大时，底面的较短边长是1m．
故选：A．

点评 本题主要考查长方体的体积及用导数求函数最值等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力．属于中档题．