Question

8．已知：数列{a_n}中，$\frac{{a}_{n+1}+{a}_{n}-1}{{a}_{n+1}-{a}_{n}+1}$=n，a₂=6，n∈N⁺．
（1）求a₁，a₃，a₄；
（2）猜想a_n的表达式并给出证明；
（3）记：S_n=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$，证明：S_n＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）直接由数列递推式结合a₂=6依次求得a₁，a₃，a₄；
（2）由数列前4项归纳猜测a_n=n（2n-1），然后利用数学归纳法证明；
（3）由$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{n（2n-1）}＜\frac{1}{n（2n-2）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$（n≥2），作和后放缩得答案．

解答 （1）解：当n=1时，$\frac{{a}_{2}+{a}_{1}-1}{{a}_{2}-{a}_{1}+1}=\frac{6+{a}_{1}-1}{6+{a}_{1}+1}=1$，a₁=1；
当n=2时，$\frac{{a}_{3}+{a}_{2}-1}{{a}_{3}-{a}_{2}+1}=2$，a₃=15；
当n=3时，$\frac{{a}_{4}+{a}_{3}-1}{{a}_{4}-{a}_{3}+1}=3$，a₄=28．
∴a₁=1，a₃=15，a₄=28；
（2）解：猜想a_n=n（2n-1）．
证明：当n=1时，a₁=1×（2×1-1）=1成立，当n=2时，a₂=2×（2×2-1）=6成立；
假设当n=k（k≥2）时结论成立，即a_k=k（2k-1），
那么，当n=k+1时，由$\frac{{a}_{k+1}+{a}_{k}-1}{{a}_{k+1}-{a}_{k}+1}=k$，得$\frac{{a}_{k+1}+k（2k-1）-1}{{a}_{k+1}-k（2k-1）+1}=k$，
∴$k{a}_{k+1}-2{k}^{3}+{k}^{2}+k={a}_{k+1}+2{k}^{2}-k-1$，
得a_k+1=（k+1）（2k+1），即n=k+1时，结论成立．
综上，a_n=n（2n-1）；
（3）证明：∵$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{n（2n-1）}＜\frac{1}{n（2n-2）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$（n≥2）．
∴S_n=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜1+$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）=1+\frac{1}{2}（1-\frac{1}{n}）＜\frac{3}{2}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了利用数学归纳法证明与自然数有关的命题，训练了利用放缩法证明数列不等式，是中档题．