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在正三角形ABC,EFP分别是ABACBC边上的点,且满足=== (如图(1)),将△AEF沿EF折起到△EF的位置,使二面角EFB成直二面角,连接BP(如图(2)).

(1)求证: E⊥平面BEP;

(2)求直线E与平面BP所成角的大小.

 

【答案】

(1)见解析;(2)直线E与平面BP所成角的大小为.

【解析】

试题分析:(1)为计算上的便利,不妨设正三角形ABC的边长为3,

利用已知条件首先得到△ADF是正三角形.再推出EFAD,EB为二面角EFB的平面角,根据二面角EFB为直二面角,得到EBE.

又∵BEEF=E,E⊥平面BEF,E⊥平面BEP.

(2)建立空间直角坐标系,利用“空间向量方法”求角.

试题解析: (1)不妨设正三角形ABC的边长为3,

则在图(1),BE的中点D,连接DF,

===,FA=AD=2.又∠A=60°,

则△ADF是正三角形.AE=ED=1,EFAD,

∴在图(2)中有EEF,BEEF,∴∠EB为二面角EFB的平面角,

∵二面角EFB为直二面角,EBE.

又∵BEEF=E,E⊥平面BEF,E⊥平面BEP.

(2)(1)可知E⊥平面BEP,BEEF,建立如图所示的空间直角坐标系,

E(0,0,0), (0,0,1),B(2,0,0).连接DP,(1)EF DP,DE FP,

故点P的坐标为(1,,0),

=(2,0,-1), =(-1,,0), =(0,0,1),

不妨设平面的法向量=(x,y,z),

,

y=,=(3,,6),cos<, >===,

则直线E与平面BP所成角的正弦值为,故直线E与平面BP所成角的大小为.

考点:直线与平面垂直,二面角的定义,线面角的计算,空间向量的应用.

 

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