Question

已知直线l过点P(3，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于点A、B．

(1)求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程；

(2)求直线l在两坐标轴上的截距之和的最小值及此时直线的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(1)设所求直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k＜0)． 　　当x＝0时，y＝2－3k：当y＝0时，x＝， 　　即A(，0)，B(0，2－3k)． 　　则S△AOB＝||·|2－3k|(k＜0) 　　＝＝－k－＋6． 　　∵k＜0，∴－k＞0，－＞0． 　　由均值不等式得－k＋(－)≥6． 　　当且仅当k＝－时等号成立． 　　∴S△AOB≥12，当a＝6，b＝4时，S△AOB有最小值12，此时直线l的方程为2x＋3y－12＝0． 　　分析：(1)直线l过点P(3，2)，且与两坐标轴的正半轴相交，则直线l的斜率k是存在且小于零的．因此可设直线l的点斜式方程求解．此题的三值为：定值－P(3，2)；问值－－直线l的方程，即问斜率k； 　　最值－－S△AOB，应由斜率k来建构，并根据建构的单元函数形式来选择求最值的方法． 　　解法二：(1)设所求直线l的方程为＋＝1(a＞3，b＞2) 　　∵l过点P(3，2)，∴＋＝1．即b＝． 　　∴S△AOB＝a·b＝a·＝＝＝(a－3)＋＋6． 　　∵a＞3，∴a－3＞0．∴(a－3)＋≥2×3＝6． 　　当且仅当a＝6时等号成立． 　　∴S△ABC≥12，当a＝6，b＝4时，S△AOB有最小值12，此时直线l的方程为＋＝1，即2x＋3y－12＝0 　　(2)L＝a＋b＝a＋＝＝5＋(a－3)＋ 　　∵a＞3，∴L≥5＋2． 　　当且仅当a＝3＋，b＝2＋时． 　　L有最小值5＋2，此时直线l的方程为 　　x＋y－3－2＝0． 　　分析二：若从直线l与两坐标轴的正半轴交于点A、B这一条件出发，可选设直线的截距式求解．此时的三值为： 　　定值：直线l过点P(3，2)所得的关系式，起到最值的函数关系式中二元化一元的作用； 　　问值：直线l的方程； 　　最值：S△AOB．

提示：

解法一：说明：由k建构的函数关系式是一个分数函数，且分子为k的二次形，分母为k的一次形，常用均值不等式法求最值． 　　(2)设L为两截距之和，则L＝2－3k＋＝5－3k－． 　　∵k＜0，∴－3k＋(－)≥2． 　　当且仅当k＝－时等号成立． 　　∴L≥5＋2． 　　当k＝－时，L有最小值5＋2，此时直线l的方程为x＋y－3－2＝0． 　　解法二：说明：此题至少还有两种以上解法．