【题目】已知数列{an}是首项为a1= ,公比q=
的等比数列,设bn+2=3
an(n∈N*),数列{cn}满足cn=anbn .
(1)求证:{bn}是等差数列;
(2)求数列{cn}的前n项和Sn;
(3)若cn≤ +m﹣1对一切正整数n恒成立,求实数m的取值范围.
【答案】
(1)证明:由题意知,an=( )n.
∵ ,
∴b1=1
∴bn+1﹣bn=3 an+1﹣3
an=3
=3
q=3
∴数列{bn}是首项为1,公差为3的等差数列
(2)解:由(1)知,an=( )n.bn=3n﹣2
∴Cn=(3n﹣2)×( )n.
∴Sn=1× +4×(
)2+…+(3n﹣2)×(
)n,
于是 Sn=1×(
)2+4×(
)3+…(3n﹣2)×(
)n+1,
两式相减得 Sn=
+3×[(
)2+(
)3+…+(
)n)﹣(3n﹣2)×(
)n+1,
= ﹣(3n+2)×(
)n+1,
∴Sn= ﹣
(
)n
(3)解:∵Cn+1﹣Cn=(3n+1)×( )n+1﹣(3n﹣2)×(
)n=9(1﹣n)×(
)n+1,
∴当n=1时,C2=C1=
当n≥2时,Cn+1<Cn,即C2=C1>C3>C4>…>Cn
∴当n=1时,Cn取最大值是
又
∴ ≥
即m2+4m﹣5≥0解得m≥1或m≤﹣5
【解析】(1)根据等比数列的通项公式可求得an , 代入 求得bn+1﹣bn为常数,进而判断出数列{bn}是等差数列.(2)由(1)可分别求得an和bn , 进而求得Cn进而用错位相减法进行求和.(3)把(2)中的Cn , 代入Cn+1﹣Cn结果小于0,进而判断出当n≥2时,Cn+1<Cn , 进而可推断出当n=1时,Cn取最大值,问题转化为
≥
,求得m的取值范围.
【考点精析】本题主要考查了等差关系的确定和数列的前n项和的相关知识点,需要掌握如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,即-
=d ,(n≥2,n∈N
)那么这个数列就叫做等差数列;数列{an}的前n项和sn与通项an的关系
才能正确解答此题.
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【题目】若方程所表示的曲线为C,给出下列四个命题:
①若C为椭圆,则1<t<4且t≠;
②若C为双曲线,则t>4或t<1;
③曲线C不可能是圆;
④若C表示椭圆,且长轴在x轴上,则1<t<.
其中正确的命题是________(把所有正确命题的序号都填在横线上).
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【题目】已知 =(
sinx,2),
=(2cosx,cos2x),函数f(x)=
,
(1)求函数f(x)的值域;
(2)在△ABC中,角A,B,C和边a,b,c满足a=2,f(A)=2,sinB=2sinC,求边c.
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【题目】已知函数,
.
(1)当时,求函数
的单调区间;
(2)设函数,
.若函数
的最小值是
,求
的值;
(3)若函数,
的定义域都是
,对于函数
的图象上的任意一点
,在函数
的图象上都存在一点
,使得
,其中
是自然对数的底数,
为坐标原点,求
的取值范围.
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【题目】已知圆C经过点A(﹣2,0),B(0,2),且圆心C在直线y=x上,又直线l:y=kx+1与圆C相交于P、Q两点.
(1)求圆C的方程;
(2)若 =﹣2,求实数k的值;
(3)过点(0,4)作动直线m交圆C于E,F两点.试问:在以EF为直径的所有圆中,是否存在这样的圆P,使得圆P经过点M(2,0)?若存在,求出圆P的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,以为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的参数方程为
(
为参数,
),直线
的极坐标方程为
.
(1)写出曲线的普通方程和直线
的直角坐标方程;
(2)为曲线
上任意一点,
为直线
任意一点,求
的最小值.
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【题目】甲、乙两位同学参加数学文化知识竞赛培训,现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次,记录如下:
(Ⅰ)用茎叶图表示这两组数据;
(Ⅱ)现要从中选派一人参加正式比赛,从所抽取的两组数据求出甲、乙两位同学的平均值和方差,据此你认为选派哪位同学参加比赛较为合适?
(Ⅲ)若对加同学的正式比赛成绩进行预测,求比赛成绩高于80分的概率.
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【题目】已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,Sn为数列{an}的前n项和,a1=b1=1,且b3S3=36,b2S2=8(n∈N*).
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)若an<an+1 , 求数列{anbn}的前n项和Tn .
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