Question

【题目】已知圆C经过点A（﹣2，0），B（0，2），且圆心C在直线y=x上，又直线l：y=kx+1与圆C相交于P、Q两点．
（1）求圆C的方程；
（2）若 =﹣2，求实数k的值；
（3）过点（0，4）作动直线m交圆C于E，F两点．试问：在以EF为直径的所有圆中，是否存在这样的圆P，使得圆P经过点M（2，0）？若存在，求出圆P的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：设圆心C（a，a），半径为r．

因为圆C经过点A（﹣2，0），B（0，2），

所以|AC|=|BC|=r，

即 ，

解得a=0，r=2，

所以圆C的方程是x2+y2=4

（2）解：因为 =2×2×cos＜ ＞=﹣2，

且 与 的夹角为∠POQ，

所以cos∠POQ=﹣ ，∠POQ=120°，

所以圆心C到直线l：kx﹣y+1=0的距离d=1，

又d= ，所以k=0

（3）解：（ⅰ）当直线m的斜率不存在时，

直线m经过圆C的圆心C，

此时直线m与圆C的交点为E（0，2），F（0，﹣2），

EF即为圆C的直径，而点M（2，0）在圆C上，

即圆C也是满足题意的圆．

（ⅱ）当直线m的斜率存在时，设直线m：y=kx+4，

由 ，消去y整理，得（1+k2）x2+8kx+12=0，

由△=64k2﹣48（1+k2）＞0，得 或 ．

设E（x1，y1），F（x2，y2），

则有 ①

由①得 ，② ，③

若存在以EF为直径的圆P经过点M（2，0），则ME⊥MF，

所以 ，

因此（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=0，

即x1x2﹣2（x1+x2）+4+y1y2=0，）

则 ，

所以16k+32=0，k=﹣2，满足题意．

此时以EF为直径的圆的方程为x2+y2﹣（x1+x2）x﹣（y1+y2）y+x1x2+y1y2=0，

即 ，

亦即5x2+5y2﹣16x﹣8y+12=0．

综上，在以EF为直径的所有圆中，

存在圆P：5x2+5y2﹣16x﹣8y+12=0或x2+y2=4，使得圆P经过点M（2，0）

【解析】（1）设圆心C（a，a），半径为r．|AC|=|BC|=r，由此能求出圆C的方程．（2）由 =2×2×cos＜ ＞=﹣2，得∠POQ=120°，圆心C到直线l：kx﹣y+1=0的距离d=1，由此能求出k=0．（3）当直线m的斜率不存在时，圆C也是满足题意的圆；当直线m的斜率存在时，设直线m：y=kx+4，由 ，得（1+k2）x2+8kx+12=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出在以EF为直径的所有圆中，存在圆P：5x2+5y2﹣16x﹣8y+12=0或x2+y2=4，使得圆P经过点M（2，0）．