Question

【题目】滨湖区拟建一主题游戏园，该游戏园为四边形区域ABCD，其中三角形区城ABC为主题活动区，其中∠ACB=60°，∠ABC=45°，AB=12 m；AD、CD为游客通道（不考虑宽度），且∠ADC=120°，通道AD、CD围成三角形区域ADC为游客休闲中心，供游客休憩．

（1）求AC的长度；
（2）记游客通道AD与CD的长度和为L，求L的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知由正弦定理，得 ，又∠ACB=60°，∠ABC=45°，AB=12 cm，所以AC= =24m．
（2）解：因为∠ADC=120°∠CAD=θ，∠ACD=60°﹣θ，

在△ADC中，由正弦定理得到 ，

所以L=CD+AD=16 [sin（60°﹣θ）+sinθ]=16 [sin60°cosθ﹣cos60°sinθ+sinθ]=16 sin（60°+θ），因0°＜θ＜60°，当θ=30°时，L取到最大值 16 m．

【解析】（1）利用正弦定理，求AC的长度．（2）求出AD，CD，可得出L关于θ的关系式，化简后求L的最大值．