Question

乒乓球赛规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为

3

5

，各次发球的胜负结果相互独立，甲、乙的一局比赛中，甲先发球．
（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；
（Ⅱ）ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的分布列与数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（1）记A_i为事件“第i次发球，甲胜”，i=1，2，3，则P（A₁）=P（A₂）=

3

5

，P（A₃）=

2

5

．“开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2”为事件A1

.

A2

.

A3

+

.

A1

A₂

.

A3

+

.

A1

.

A2

A3，由此能求出开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率．
（2）由题意ξ=0，1，2，3．分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出Eξ．

解答： 解：（1）记A_i为事件“第i次发球，甲胜”，i=1，2，3，
则P（A₁）=P（A₂）=

3

5

，P（A₃）=

2

5

．
“开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2”为事件
A1

.

A2

.

A3

+

.

A1

A₂

.

A3

+

.

A1

.

A2

A3，
其概率为
P（A1

.

A2

.

A3

+

.

A1

A₂

.

A3

+

.

A1

.

A2

A3）=2×

3

5

×

2

5

×

3

5

+

2

5

×

2

5

×

2

5

=

44

125

，
即开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率为

44

125

．…（6分）
（2）由题意ξ=0，1，2，3．
P（ξ=0）=

3

5

×

3

5

×

2

5

=

18

125

，
P（ξ=1）=2×

2

5

×

3

5

×

2

5

+（

3

5

）³=

51

125

，
P（ξ=2）=2×

3

5

×

2

5

×

3

5

+

2

5

×

2

5

×

2

5

=

44

125

，
P（ξ=3）=

2

5

×

2

5

×

3

5

=

12

125

，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	8 125	51 125	44 125	12 125

所以Eξ=0×

18

125

+1×

51

125

+2×

44

125

+3×

12

125

=

7

5

．…（12分）

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是历年高考的必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意概率知识的合理运用．