Question

【题目】设椭圆C： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， 点A（{2， ）在椭圆上，且满足 =0． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）动直线l：y=kx+m与椭圆C交于P，Q两点，且OP⊥OQ，是否存在圆x2+y2=r2使得l恰好是该圆的切线，若存在，求出r；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵ ， ∴AF2⊥F1F2 ，
∵A在椭圆上，
∴ ，解得 ．
∴ ，解得a2=8，b2=4，．
∴椭圆 ．
（Ⅱ）设P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），
将l：y=kx+m代入 ，整理得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，
∵△＞0，
∴8k2﹣m2+4＞0，
且 ， ，
∴ ，
∵OP⊥OQ，
∴x1x2+y1y2=0，即 ，
∴ ，
由 和8k2﹣m+4＞0，得 即可．
∵l与圆x2+y2=r2相切，
∴ ，
存在圆 符合题意．
【解析】（1）由题意可知c=2，将A代入椭圆，列方程组，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）将直线l的方程代入椭圆方程，△＞0，根据韦达定理定理求得x1+x2及x1x2 ， 代入直线l方程求得y1y2 ， 由OP⊥OQ，根据向量数量积的坐标表示求得x1x2+y1y2=0，求得m的取值范围，l与圆x2+y2=r2相切，代入即可求得r的值．