Question

【题目】如图，多面体中, 两两垂直，平面平面，平面平面， .

（1）证明四边形是正方形；

（2）判断点是否四点共面，并说明为什么？

（3）连结，求证： 平面．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）共面，见解析；（3）见解析

【解析】试题分析：（1）要证明四边形是一个正方形，首先证明四边形是一个平行四边形，这里应用两个平面平行的性质定理，再根据一对邻边相等，得到正方形．
（2）要判断四点共面，只要判断三点共面，再证明第四个点在平面上，或者是证明四点在两条平行的直线上，选择后者，进行证明．
（3）要证明限于面垂直只要证明这条线与平面上的两条相交直线垂直，解题的关键是找出这两条线，选择了BG和BD这两条相交直线，得到结论．

试题解析：

证明：（1），

同理AD∥BE，

则四边形ABED是平行四边形．

又AD⊥DE，AD=DE，

∴四边形ABED是正方形

（2）取DG中点P，连接PA，PF．

在梯形EFGD中，FP∥DE且FP=DE．

又AB∥DE且AB=DE，∴AB∥PF且AB=PF

∴四边形ABFP为平行四边形，

∴AP∥BF

在梯形ACGD中，AP∥CG，∴BF∥CG，

∴B，C，F，G四点共面

（3）同（1）中证明方法知四边形BFGC为平行四边形．

且有AC∥DG、EF∥DG，从而AC∥EF，

∴EF⊥AD，BE∥AD

又BE=AD=2、EF=1故，而，

故四边形BFGC为菱形，CF⊥BG

又由AC∥EF且AC=EF知CF∥AE．

正方形ABED中，AE⊥BD，故CF⊥BD．