Question

设{a_n}、{b_n}是公比不相等的两个等比数列,c_n=a_n+b_n,证明数列{c_n}不是等比数列.

Answer 1

证法一:否定一个结论举一特例即可,即只需说明≠,即c₂²≠c₁·c₃.

设a_n=a₁p^n－1,b_n=b₁q^n－1,且p≠q,则c₂²=(a₁p+b₁q)²=a₁²p²+2a₁b₁pq+b₁²q²,

c₁·c₂=(a₁+b₁)(a₁p²+b₁q²)=a₁²p²+a₁b₁q²+a₁b₁p²+b₁²q²,

c₂²－c₁·c₃=a₁b₁(2pq－p²－q²)=－a₁b₁(p－q)².

∵a₁≠0,b₁≠0,p≠q,∴c₂²－c₁c₂≠0,

故{c_n}不是等比数列.

证法二:反证法.

假设数列{c_n}是等比数列,则存在常数k(不等于零),使得=k(n∈N^*),

即c_n+1=kc_n.

设a_n=a₁p^n－1,b_n=b₁q^n－1且p≠q,

代入上式中整理得a₁pⁿ+b₁qⁿ=·pⁿ+·qⁿ.

∵上式对任意n∈N^*成立,

∴必须考虑到a₁≠0,b₁≠0,

解得p=q=k.这与已知公比p≠q矛盾,故数列{c_n}不是等比数列.