Question

2．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+1，x≥0}\\{（a-1）{e}^{ax}，x＜0}\end{array}\right.$在R上单调，则a的取值范围为（　　）

• A． （1，+∞）
• B． （1，2]
• C． （-∞，2）
• D． （-∞，0）

Answer 1

分析 f（x）在R上单调，从而讨论f（x）单调递增和单调递减两种情况，对于每种情况，根据二次函数、指数函数的单调性及单调性的定义即可建立关于a的不等式组，解不等式组即可得出a的取值范围．

解答 解：f（x）在R上单调；
①若f（x）在R上单调递增，则：
$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a＞1}\\{a•{0}^{2}+1≥（a-1）{e}^{0}}\end{array}\right.$；
∴1＜a≤2；
②若f（x）在R上单调递减，则：
$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{a＞1}\end{array}\right.$；
∴a∈∅；
∴a的取值范围为（1，2]．
故选：B．

点评 考查二次函数、指数函数的单调性，以及单调性的定义，分段函数的单调性的判断．