Question

12．已知函数f（x）满足f（log_ax）=（a-1）（x-$\frac{1}{x}$）（其中a＞0，a≠1）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）若对一切t∈R不等式f（mt²+8）+f（m-6mt）＞0成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令log_ax=t，从而得到x=a^t，带入原函数解析式即可得出f（x）=（a-1）（a^x-a^-x）；
（2）容易得出f（-x）=-f（x），从而函数f（x）为奇函数；
（3）根据指数函数和单调性定义能够判断f（x）在R上为增函数，从而由该不等式可得到f（mt²+8）＞f（6mt-m），从而可得到mt²-6mt+m+8＞0恒成立，可考虑m是否为0：m=0时，显然满足条件，m≠0时，m需满足$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{△＜0}\end{array}\right.$，这样解出m的范围，合并m=0的情况即可得出实数m的取值范围．

解答 解：（1）令log_ax=t，则x=a^t；
∴f（t）=（a-1）（a^t-a^-t）；
∴f（x）=（a-1）（a^x-a^-x）；
（2）f（x）的定义域为R；
f（-x）=（a-1）（a^-x-a^x）=-f（x）；
∴f（x）为奇函数；
（3）a^x和-a^-x的单调性一致；
①0＜a＜1时，a^x-a^-x是减函数，a-1＜0；
∴f（x）是增函数；
②a＞1时，a^x-a^-x是增函数，a-1＞0；
∴f（x）是增函数；
即对任意的a＞0，a≠1，f（x）都是增函数；
f（x）又是奇函数；
∴由原不等式得：f（mt²+8）＞f（6mt-m）；
∴mt²+8＞6mt-m恒成立；
即mt²-6mt+m+8＞0恒成立；
①m=0时，8＞0恒成立；
②m≠0时，则$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{△=36{m}^{2}-4m（m+8）＜0}\end{array}\right.$；
解得0＜m＜1；
∴实数m的取值范围为[0，1）．

点评 考查换元法求函数解析式，奇函数的定义及判断过程，指数函数的单调性及增函数的定义，根据增函数的定义解不等式，一元二次不等式ax²+bx+c＞0的解集为R时，需满足$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△＜0}\end{array}\right.$，不要漏了m=0的情况．