Question

17．已知函数f（x）=$\sqrt{1-x}-\frac{5}{x+2}$的定义域为A，函数g（x）=|x-1|-|x+2|的值域为B．
（1）求集合A，B；
（2）求A∪B，（∁_RA）∩B．

Answer 1

分析 （1）容易求出函数f（x）的定义域A=（-∞，-2）∪（-2，1]，根据绝对值不等式公式，||x-1|-|x+2||≤|（x-1）-（x+2）|，从而可以求出g（x）的值域B=[-3，3]；
（2）进行集合的并集、补集，以及交集的运算即可．

解答 解：（1）要使f（x）有意义，则：$\left\{\begin{array}{l}{1-x≥0}\\{x≠-2}\end{array}\right.$；
∴x≤1，且x≠-2；
∴A=（-∞，-2）∪（-2，1]；
||x-1|-|x+2||≤|（x-1）-（x+2）|=3；
∴-3≤|x-1|-|x+2|≤3；
即-3≤g（x）≤3；
∴B=[-3，3]；
（2）A∪B=（-∞，3]，∁_RA=（1，+∞）∪{-2}；
∴（∁_RA）∩B=（1，3]∪{-2}．

点评 考查函数定义域、值域的概念及求法，绝对值不等式公式||a|-|b||≤|a-b|，以及集合的交集、并集，及补集运算．