Question

9．已知x，y∈R，求证：$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2}$≥（$\frac{x+y}{2}$）²．

Answer 1

分析 由不等式证明的分析法和实数的完全平方非负可得．

解答 证明：要证$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2}$≥（$\frac{x+y}{2}$）²只需证$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2}$-（$\frac{x+y}{2}$）²≥0，
只需证$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{2}+2xy+{y}^{2}}{4}$≥0，即证$\frac{2{x}^{2}+2{y}^{2}-{x}^{2}-2xy-{y}^{2}}{4}$≥0，
即证$\frac{{x}^{2}-2xy+{y}^{2}}{4}$≥0，即证（x-y）²≥0，
显然对任意x，y∈R，（x-y）²≥0成立，
∴$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2}$≥（$\frac{x+y}{2}$）²

点评 本题考查不等式的证明，属基础题．