Question

(理)如图,在四棱锥P—ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,∠ABC=∠BCD=90°,PA=PD=DC=CB=AB,E是BP的中点.

(1)求证:EC∥平面APD;

(2)求BP与平面ABCD所成角的正切值;

(3)求二面角PABD的大小.

(文)如图,在三棱锥P—ABC中,PA⊥AB,PA⊥AC,AB⊥AC,PA=AC=2,AB=1,M为PC的中点.

(1)求证:平面PCB⊥平面MAB;

(2)求点A到平面PBC的距离;

(3)求二面角CPBA的正切值.

Answer 1

答案：(理)解法一:(1)如图,取PA中点F,连结EF、FD,

∵E是BP的中点,∴EF∥AB且EF=AB.又∵DC∥AB,DC=AB,∴EF∥CD且EF=CD.

∴四边形EFDC是平行四边形,故得EC∥FD.

又∵EC平面PAD,FD平面PAD,∴EC∥平面ADP.

(2)取AD中点H,连结PH,BH,因为PA=PD,所以PH⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD,∴PH⊥平面ABCD,∴HB是PB在平面ABCD内的射影.∴∠PBH是PB与平面ABCD所成角.

由已知∠ABC=∠BCD=90°,∴四边形ABCD是直角梯形.

DC=CB=AB.设AB=2a,则BD=a,在△ADB中,易得∠DBA=45°,∴AD=a.

PH=.又∵BD²+AD²=4a²=AB²,∴△ABD是等腰直角三角形,∠ADB=90°.∴HB=.

∴在Rt△PHB中,tan∠PBH=.

(3)在平面ABCD内过点H作AB的垂线交AB于G点,连结PG,则HG是PG在平面ABCD内的射影,故PG⊥AB,所以∠PGH是二面角PABD的平面角,由AB=2a,

HA=a,又∠HAB=45°,∴HG=a.在Rt△PHG中,tan∠PGH=.

∴二面角PABD的大小为arctan.

解法二:(1)同解法一.

(2)设AB=2a,同解法一中的(2)可得∠ADB=90°.如图,以D点为原点,DA所在直线为x轴,DB所在直线为y轴,过D点且垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系.

则B(0,a,0),P(a,0,a),则PB=(-a,a,-a),

平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1).

所以cos〈,m〉=,

可得PB与平面ABCD所成角的正弦值为.

所以PB与平面ABCD所成角的正切值为.

(3)易知A(a,0,0),则=(,0),设平面PAB的一个法向量为n=(x₀,y₀,z₀),

则

令x₀=1,可得n=(1,1,1),

得cos〈m,n〉=,所以二面角PABD的大小为arccos.

(文)方法一:(1)∵PA⊥AB,AB⊥AC,

∴AB⊥平面PAC.故AB⊥PC.∵PA=AC=2,M为PC的中点,∴MA⊥PC.

∴PC⊥平面MAB.又PC平面PCB.所以平面PCB⊥平面MAB.

(2)如图,在平面MAB中作AE⊥MB,垂足是E,∵平面PCB⊥平面MAB,平面PCB∩平面MAB=MB,∴AE⊥平面PBC.∴AE的长为点A到平面PBC的距离.又∵AB⊥平面PAC,∴AB⊥AM.∴在Rt△ABM中,AB=1,AM=,MB=.

∴AE·MB=AB·AM.∴AE=即为所求.

(3)在平面PAB中作AF⊥PB,垂足是F,连接CF,∵PA⊥AC,AB⊥AC,∴AC⊥平面PAB.则AC⊥AF,且AF是CF在平面PAB内的射影,∴CF⊥PB(三垂线定理).∴∠AFC是二面角CPBA的平面角,

在Rt△PAB中,PA=2,AB=1,PB=,可得AF=,

∴在Rt△AFC中,tan∠AFC=即为所求.

方法二:(1)同方法一.

(2)以A为原点,建立如图的空间直角坐标系,由已知可得各点坐标为

A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0),P(0,0,2),M(1,0,1).

设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),且=(0,1,-2),=(2,0,-2).

∴n·=y-2z=0,n·=2x-2z=0.∴x=z,y=2z.令z=1,可得x=1,y=2,∴n=(1,2,1).

又=(0,1,0),∴点A到平面PBC的距离d=.

(3)∵PA⊥AC,AB⊥AC,∴AC⊥平面PAB.∴平面PAB的法向量为=(2,0,0),

设二面角CPBA的大小为θ,∴cosθ=.故tanθ=5即为所求.