Question

如图，ABCD是边长为a的菱形，且∠BAD＝60°，△PAD为正三角形，且面PAD⊥面ABCD．

(1)求cos〈，〉的值

(2)若E为AB的中点，F为PD的中点，求||的值；

(3)求二面角P－BC－D的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)选取AD中点O为原点，OB、AD、OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(0，－，0)，B(a，0，0)，P(0，0，a)，D(0，，0)． 　　∴＝(a，，0)，＝(0，，－a)， 　　则cos〈，〉＝ 　　＝＝． 　　(2)∵E、F分别为AB、PD的中点， 　　∴E(a，－，0)，F(0，，a)． 　　则||＝＝a． 　　(3)∵面PAD⊥面ABCD，PO⊥AD， 　　∴PO⊥面ABCD． 　　∵BO⊥AD，AD∥BC，∴BO⊥BC． 　　连结PB，则PB⊥BC， 　　∴∠PBO为二面角P－BC－D的平面角． 　　在Rt△PBO中，PO＝a，BO＝a， 　　∴tan∠PBO＝＝＝1．则∠PBO＝45°． 　　故二面角P－BC－D的大小为45°．