Question

定义在R上的偶函数y=f（x）满足：
①对x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）
②f（-5）=-1；
③当x₁，x₂∈[0，3]且x₁≠x₂时，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0则
（1）f（2009）=______；
（2）若方程f（x）=0在区间[a，6-a]上恰有3个不同实根，实数a的取值范围是______．

Answer 1

由题意，（1）因为y=f（x）是R上的偶函数，所以f（x）=f（-x），因为f（x+6）=f（x）+f（3），
所以f（-x+6）=f（-x）+f（3）=f（x）+3=f（x+6），所以f（x）关于x=6对称，
因为f（6-x）=f（6+x），所以f（-x）=f（x+12）=f（x），所以f（x）是以12为周期的函数，
∴f（2009）=f（5）=f（-5）=-1；
 （2）根据当x₁，x₂∈[0，3]且x₁≠x₂时，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，可知函数在[0，3]上单调递增
又f（x）为偶函数，故在[-3，0]上为减函数．
令x=-3，则由f（x+6）=f（x）+f（3）得f（3）=f（-3）+f（3）=2f（3），故f（3）=0
因为f（x+6）=f（x）+f（3），所以f（3）=f（-3）+f（3）=0，f（x）关于x=6对称，所以f（9）=0，因为y=f（x）是R上的偶函数，f（-9）=0，f（-3）=0，因 为f（x）在[0，3]上是增函数，所以[0，3]上只有一解为3，对称性[-3，0]只有一解为-3，因为f（x+6）=f（x）+f（3），且f（x）在[0，3]上是增函数，所以f（x）在[6，9]上是增函数，所以[6，9]上只有一解为9，因为f（x）关于x=6对称，所以f（x）在[3，6]上只有一解为3，由对称性知[-9，-6]，[-6，-3]各只有一解-9，-3，
要使方程f（x）=0在区间[a，6-a]上恰有3个不同实根，则a＞-9，6-a≤9
∴实数a的取值范围是（-9-3]
故答案为-1，（-9-3]