Question

2．如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面ACC₁A₁是正方形，点O是侧面ACC₁A₁的中心，∠ACB=$\frac{π}{2}$，M是棱BC的中点．
（1）求证：OM∥平面ABB₁A₁；
（2）求证：平面ABC₁⊥平面A₁BC．

Answer 1

分析 （1）推导出OM∥A₁B，由此能证明OM∥平面ABB₁A₁．
（2）推导出CC₁⊥BC，BC⊥AC，从而BC⊥面ACC₁A₁，进而BC⊥AC₁，再由A₁C⊥AC₁，得到AC₁⊥面A₁BC，由此能证明面ABC₁⊥面A₁BC．

解答 证明：（1）在△A₁BC中，因为O是A₁C的中点，M是BC的中点，
所以OM∥A₁B，…（4分）
又OM?平面ABB₁A₁，A₁B?平面ABB₁A₁，
所以OM∥平面ABB₁A₁．…（6分）
（2）因为ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，所以CC₁⊥底面ABC，所以CC₁⊥BC，
又∠ACB=$\frac{π}{2}$，即BC⊥AC，而CC₁，AC?面ACC₁A₁，且CC₁∩AC=C，
所以BC⊥面ACC₁A₁，…（8分）
而AC₁?面ACC₁A₁，所以BC⊥AC₁，
又ACC₁A₁是正方形，所以A₁C⊥AC₁，而BC，A₁C?面A₁BC，且BC∩A₁C=C，
所以AC₁⊥面A₁BC，…（12分）
又AC₁?面ABC₁，所以面ABC₁⊥面A₁BC．…（14分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．