Question

12．如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，且∠PAB=∠ABC=90°，AD∥BC，PA=AB=BC=2AD，E是PC的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面PAB；
（Ⅱ）求证：平面PCD⊥平面PBC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PB中点F，连接EF，AF，推导出四边形DEFA是平行四边形，由此能证明DE∥平面PAB．
（Ⅱ）由已知推导出AF⊥BC，AF⊥PB，从而AF⊥平面PBC，再由DE∥AF，能证明平面PCD⊥平面PBC．

解答 证明：（Ⅰ）取PB中点F，连接EF，AF，
由已知EF∥BC∥AD，且2EF=2AD=BC，
所以，四边形DEFA是平行四边形，
于是DE∥AF，AF?平面PAB，DE?平面PAB，
因此DE∥平面PAB． …（6分）
（Ⅱ）侧面PAB⊥底面ABCD，且∠PAB=∠ABC=90°，
所以BC⊥平面PAB，AF?平面PAB，所以AF⊥BC，
又因为PA=AB，F是PB中点，于是AF⊥PB，
PB∩BC=B，所以AF⊥平面PBC，
由（Ⅰ）知DE∥AF，故DE⊥平面PBC，
而DE?平面PCD，
因此平面PCD⊥平面PBC． …（12分）

点评 本题考查线面平行、面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．