Question

17．如图，边长为2的菱形ABED与正三形DEC组成一等腰梯形ABCD，沿BD将△ABD所在的平面折起，使平面ABD⊥平面BDC．
（1）设F为平面ACD内的点，且EF∥平面ABD确定点F的位置；
（2）求DE与平面ACD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知BE=CE=CD，取CD中点F，连结EF，则EF∥BD，从而得到当F为CD中点时，EF∥平面ABD．
（2）取BD中点O，连结AO，EO，以O为原点，OE为x轴，OD为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能DE与平面ACD所成角的正弦值．

解答 解：（1）∵边长为2的菱形ABED与正三形DEC组成一等腰梯形ABCD，
沿BD将△ABD所在的平面折起，使平面ABD⊥平面BDC，
∴BE=CE=CD=2，
取CD中点F，连结EF，则EF∥BD，
∵BD?平面ABD，EF?平面ABD，
∴EF∥平面ABD，
∴当F为CD中点时，EF∥平面ABD．
（2）取BD中点O，连结AO，EO，
∵AB=AD=BE=2，BD=2$\sqrt{3}$，平面ABD⊥平面BDC，
∴OA=OE=OB=OD=$\sqrt{2}$，AO⊥平面BCD，OE⊥BD，
以O为原点，OE为x轴，OD为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，
D（0，$\sqrt{2}$，0），E（$\sqrt{2}$，0，0），A（0，0，$\sqrt{2}$），C（2，$\sqrt{2}$，0），
$\overrightarrow{DE}$=（$\sqrt{2}，-\sqrt{2}，0$），$\overrightarrow{AC}$=（2，$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{AD}$=（0，$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），
设平面ACD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=2x+\sqrt{2}y-\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=\sqrt{2}y-\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，1），
设DE与平面ACD所成角为θ，
sinθ=$\frac{|\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{DE}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-\sqrt{2}|}{\sqrt{4}•\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴DE与平面ACD所成角的正弦值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查使得线面平行的点的位置的确定，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．