Question

1．求证：（1）tanα-$\frac{1}{tanα}$=$\frac{1-2co{s}^{2}α}{sinαcosα}$；（2）（1+tanα）²+（1-tanα）²=$\frac{2}{co{s}^{2}α}$．

Answer 1

分析 将切化弦，利用同角的三角函数化简即可证明．

解答 证明：（1）∵tanα-$\frac{1}{tanα}$=$\frac{sinα}{cosα}$-$\frac{cosα}{sinα}$=$\frac{si{n}^{2}α-co{s}^{2}α}{sinαcosα}$=$\frac{1-co{s}^{2}α-co{s}^{2}α}{sinαcosα}$=$\frac{1-2co{s}^{2}α}{sinαcosα}$．
∴tanα-$\frac{1}{tanα}$=$\frac{1-2co{s}^{2}α}{sinαcosα}$．
（2））∵（1+tanα）²+（1-tanα）²=1+2tanα+tan²α+1-2tanα+tan²α=2+2tan²α=2+$\frac{2si{n}^{2}α}{co{s}^{2}α}$=$\frac{2co{s}^{2}α+2si{n}^{2}α}{co{s}^{2}α}$=$\frac{2}{co{s}^{2}α}$．
∴（1+tanα）²+（1-tanα）²=$\frac{2}{co{s}^{2}α}$．

点评 本题考查了同角三角函数的关系，三角恒等式的证明，将切化弦是证明的关键．