【题目】在四棱锥中,,.为的中点.
(1)若点为的中点,求证:平面;
(2)当平面平面时,线段上是否存在一点,使得平面与平面所成锐二面角的大小为?若存在,求出点的位置,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)存在,.
【解析】
(1)利用线面平行的判定定理证明平面,平面,由面面平行的判定定理得到平面平面,再由面面平行的性质即可得到平面;
(2) 以为坐标原点,分别以,为轴,建立空间直角坐标系,利用向量法求解即可.
证明:(1)连接,.由已知得,为等边三角形,.
∵,,由余弦定理可得:
∴
∴,∴
又∵平面,平面
∴平面
∵为的中点,为的中点,∴.
又∵平面,平面
∴平面.
∵,平面
∴平面平面.
∵平面,∴平面.
(2)取中点为,连接,
因为,,所以,.
∵平面平面,且交线为,,面
∴平面.
,,以为坐标原点,分别以,为轴,建立空间直角坐标系.
,,,,.
设,则可得
∵平面
∴平面的一个法向量为.
设平面的法向量为.
∵,
由得
取 得
设平面与平面所成锐二面角为,则
化简得:,解得(舍),
∴.
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【题目】如图,在三棱柱中,侧面是矩形,,,,且.
(1)求证:平面平面;
(2)设是的中点,判断并证明在线段上是否存在点,使平面,若存在,求点到平面的距离.
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【题目】已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为32,48,现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.
Ⅰ应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?
Ⅱ若抽出的7人中有3人睡眠不足,4人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的数学期望和方差;
设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.
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【题目】如图,要在河岸的一侧修建一条休闲式人行道,进行图纸设计时,建立了图中所示坐标系,其中,在轴上,且,道路的前一部分为曲线段,该曲线段为二次函数在时的图像,最高点为,道路中间部分为直线段,,且,道路的后一段是以为圆心的一段圆弧.
(1)求的值;
(2)求的大小;
(3)若要在扇形区域内建一个“矩形草坪”,在圆弧上运动,、在上,记,则当为何值时,“矩形草坪”面积最大.
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【题目】如图,在三棱锥中,已知都是边长为的等边三角形,为中点,且平面,为线段上一动点,记.
(1)当时,求异面直线与所成角的余弦值;
(2)当与平面所成角的正弦值为时,求的值.
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【题目】在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且asin B=-bsin.
(1)求A;
(2)若△ABC的面积S=c2,求sin C的值.
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【题目】如图所示,是正方形所在平面外一点,在面上的投影为,,,,有以下四个命题:
(1)面;
(2)为中点,且;
(3)以,作为邻边的平行四边形面积是32;
(4)的内切球半径为.
其中正确命题的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
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