Question

4．已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F（0，1），过点F作直线l交抛物线C于A，B两点．椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（Ⅰ）分别求抛物线C和椭圆E的方程；
（Ⅱ）经过A，B两点分别作抛物线C的切线l₁，l₂，切线l₁与l₂相交于点M．证明AB⊥MF．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F（0，1）可得抛物线C的方程为x²=4y；由点椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求出a，b，椭圆方程可求．
（Ⅱ）要证明AB⊥MF，只需证$\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{AB}$=0即可．设直线l的方程为y=kx+，1与双曲线方程联立，消去y，得到关于A，B点横坐标的一元二次方程，求两根的和与积，再用导数求过A，B点的切线方程，求出切点坐标，计算$\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{AB}$即可．

解答 解：（Ⅰ）由已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F（0，1）可得抛物线C的方程为x²=4y．
设椭圆E的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，半焦距为c．由已知可得：$\left\{{\begin{array}{l}{b=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}}\\{{a^2}={b^2}+{c^2}}\end{array}}\right.$，解得  a=2，b=1．所以椭圆E的方程为：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．  …（4分）
（Ⅱ）显然直线l的斜率存在，否则直线l与抛物线C只有一个交点，不合题意，…（6分）
故可设直线l的方程为y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂），
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x^2}=4y}\end{array}}\right.$，消去y并整理得x²-4kx-4=0，∴x₁x₂=-4．
∵抛物线C的方程为$y=\frac{1}{4}{x^2}$，求导得$y'=\frac{1}{2}x$，
∴过抛物线C上A、B两点的切线方程分别是$y-{y_1}=\frac{1}{2}{x_1}（x-{x_1}）$，$y-{y_2}=\frac{1}{2}{x_2}（x-{x_2}）$，
即$y=\frac{1}{2}{x_1}x-\frac{1}{4}{x_1}^2$，$y=\frac{1}{2}{x_2}x-\frac{1}{4}{x_2}^2$，
解得两条切线l₁，l₂的交点M的坐标为$（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}，\frac{{{x_1}{x_2}}}{4}）$，即M$（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}，-1）$，$\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{AB}=（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}，-2）•（{x_2}-{x_1}，{y_2}-{y_1}）$=$\frac{1}{2}（{x_2}^2-{x_1}^2）-2（\frac{1}{4}{x_2}^2-\frac{1}{4}{x_1}^2）=0$，
∴AB⊥MF． …（12分）

点评 本题考查了抛物线，椭圆与直线导数等的综合应用，属于较难题型，做题适应认真分析，找到他们的联系点．