Question

已知函数f(x)=(b＜0)的值域为［1，3］.

（1）求实数b、c的值；

（2）判断F(x)=lgf(x)在x∈［-1，1］上的单调性，并给出证明.

Answer 1

解析：（1）由y=,知x∈R,去分母，整理得（2-y）x²+bx+c-y=0,(*)

当y-2≠0时，由x∈R有Δ=b²-4(2-y)(c-y)≥0,

即4y²-4(2+c)y+8c-b²≤0,由题设及二次不等式与方程的关系得2+c=1+3且=1×3，解之得b=±2,c=2,又b＜0,

∴b=-2,c=2.

当y-2=0时，将b=-2,c=2代入（*）式得x=0,适合

∴b=-2,c=2为所求.

（2）F（x）在x∈［-1，1］上是减函数.

证明：设-1≤x₁＜x₂≤1，

则F(x₂)-F(x₁)=lg

=lg

=lg.

而(x₂²-x₂+1)(x₁²+1)-(x₁²-x₁+1)(x₂²+1)

=x₁x₂(x₂-x₁)-(x₂-x₁)

=(x₂-x₁)(x₁x₂-1),

又∵x₂＞x₁,∴x₂-x₁＞0.

又|x₁|≤1,|x₂|≤1,由x₁≠x₂,

∴|x₁||x₂|≤1.

∴-1≤x₁x₂＜1,∴x₁x₂-1＜0.

∴0＜(x₂²-x₂+1)(x₁²+1)＜(x₁²-x₁+1)(x₂²+1).

∴0＜＜1.

∴F(x₂)-F(x₁)

=lg＜0.

即F(x₂)＜F(x₁),

故F（x）=lgf(x)在［-1，1］上是减函数.