Question

设a＞1，函数f（x）的图象与函数y=4-a^|x-2|-2•a^x-2的图象关于点A（1，2）对称．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若关于x的方程f（x）=m有两个不同的正数解，求实数m的取值范围；
（3）设函数g（x）=f（-x），x∈[-2，+∞），g（x）满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与a无关．试求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设出动点的坐标，利用中点的坐标公式求出对称点的坐标，代入已知函数的解析式，即得动点的解析式．
（2）通过换元，将问题转化为二次方程的实根分布，画出二次函数的通图象，从判别式、对称轴的位置、区间端点值的符号上加以限制，列出不等式组，求出m的范围．
（3）对自变量x分段讨论去掉绝对值符号，研究函数的单调性，求出函数的最值，对a分类讨论，判断最值是否与a有关．

解答：解：（1）设点P（x，y）是函数f（x）图象上任意一点，P关于点A对称的点为P'（x'，y'），则

x+x′

2

=1，

y+y′

2

=2，于是x'=2-x，y'=4-y，（2分）
因为P'（x'，y'）在函数g（x）的图象上，所以y'=4-a^|x'-2|-2•a^x'-2，（3分）
即4-y=4-a^|-x|-2•a^-x，y=a^|x|+2•a^-x，所以f（x）=a^|x|+2•a^-x（或f(x)=a|x|+

2

ax

）．（5分）
（2）令a^x=t，因为a＞1，x＞0，所以t＞1，所以方程f（x）=m可化为t+

2

t

=m，
即关于t的方程t²-mt+2=0有大于1的相异两实数解．（8分）
作h（t）=t²-mt+2，则

h(1)＞0 m 2 ＞1 m2-8＞0

，（11分）
解得2

2

＜m＜3．所以m的取值范围是(2

2

 ， 3)．（12分）
（3）g（x）=a^|x|+2a^x，x∈[-2，+∞）．
当x≥0时，因为a＞1，所以a^x≥1，g（x）=3a^x∈[3，+∞），所以函数g（x）不存在最大值．（13分）
当-2≤x＜0时，g(x)=2ax+

1

ax

，令t=a^x，则g(x)=h(t)=2t+

1

t

，t∈[

1

a2

 ， 1)，
当

1

a2

＞

2

2

，即1＜a＜

4	2

时，h（t）在[

1

a2

 ， 1)上是增函数，存在最小值a2+

2

a2

，
与a有关，不符合题意．（15分）
当0＜

1

a2

≤

2

2

，即a≥

4	2

时，h（t）在[

1

a2

 ， 

2

2

]上是减函数，在[

2

2

 ， 1)上是增函数，当t=

2

2

即x=-

1

2

loga2时，h（t）取最小值2

2

，与a无关．（17分）
综上所述，a的取值范围是[

4	2

 ， +∞)．（18分）

点评：本题考查函数解析式的求法：设出动点坐标，求出相关点的坐标，利用相关点满足的解析式求出动点的解析式．
考查换元法：要注意新变量的范围、考查二次方程的实根分布、考查利用函数的单调性求函数的最值．