Question

已知函数f（x）=

|sinx|

x

，若k＞0时，方程f（x）=k有且仅有两个不同的实数解x₁、x₂（x₁＜x₂），则（　　）

• A、sinx₁=-x₁•cosx₂
• B、sinx₁=x₁•cosx₂
• C、cosx₂=-x₂•sinx₁
• D、cosx₂=x₂•sinx₁

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：由题意构造函数y₁=|sinx|，y₂=kx，然后分别做出两个函数的图象，利用图象和导数求出切点的坐标以及斜率，即可得到选项．

解答： 解：依题意可知x＞0
令y₁=|sinx|，y₂=kx，然后分别做出两个函数的图象．
因为原方程有且只有两个解，所以y₂与y₁仅有两个交点，而且第二个交点是y₁和y₂相切的点，
即点（x₂，|sinx₂|）为切点，因为（-sinx₂）′=-cosx₂，
所以切线的斜率k=-cosx₂．
而且点（x₁，sinx₁）在切线y₂=kx=-xcosx₂上．
于是将点（x₁，sinx₁）代入切线方程y₂=-xcosx₂
可得：sinx₁=-x₁cosx₂．
故选A．

点评：本题考查数形结合的思想，函数图象的交点与方程的根的关系，注意：y₁的图象只有X轴右半部分和y轴上半部分，且原点处没有值（因为x不等于0）；y₂的图象是过原点的一条直线．