Question

14．已知定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：任意x₁，x₂∈（1，1），都f（x₁）+f（x₂）=f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{1+{x}_{1}{x}_{2}}$）成立；
（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；   
（2）若f（$\frac{1}{2}$）=1，求f（$\frac{13}{14}$）的值．

Answer 1

分析 （1）赋值，利用奇函数的定义，即可得出f（x）是奇函数；
（2）由f（x₁）+f（x₂）=f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{1+{x}_{1}{x}_{2}}$），f（$\frac{1}{2}$）=1，得f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{4}{5}$）=2，即可求f（$\frac{13}{14}$）的值．

解答 解：（1）f（x）的定义域为（-1，1）．
∵f（x₁）+f（x₂）=f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{1+{x}_{1}{x}_{2}}$），
∴f（0）+f（0）=f（0），
∴f（0）=0，
∴f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函数；
（2）∵f（x₁）+f（x₂）=f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{1+{x}_{1}{x}_{2}}$），f（$\frac{1}{2}$）=1，
∴f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{4}{5}$）=2
∴f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{4}{5}$）=f（$\frac{13}{14}$）=3．

点评 本题考查函数的奇偶性，考查函数值的计算，考查赋值法，考查学生的计算能力，属于中档题．